I don't now

...............

.................

.

haizzzzzzzzzzzzz

ta có 3x + yz = x² + xy + yz + zx = (x+y)(x+z)

do đó:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}{\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+x\right)\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}\)

= \(\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}\le\frac{x\left(\frac{x+y+x+z}{2}-x\right)}{xy+yz+zx}\)\(\le\frac{x\left(y+z\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

tương tự với 2 số hạng còn lại nên ta được: P\(\le\)1. đpcm

hi minh ket ban nhe

m.imgur.com/a/ls9dmpn

Cậu chịu khó đánh máy nhé ! Tớ dùng đt nên nhác phải đánh text lắm :(((

Cách mình ngắn hơn trên khá nhìu nha !!!!

Ta có: \(\left(x-\sqrt{yz}\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow x^2=yz\))

Theo đề: x + y + z = 3\(\Rightarrow3x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+yz+x\left(y+z\right)\)\(\ge x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}\)

Suy ra \(\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}}=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

và \(x+\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự ta có: \(\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\);\(\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng từng vế của các BĐT trên,ta được:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\)\(+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\)\(+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))

We have:

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\Sigma_{cyc}\frac{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}}{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+1}\)

Dat \(\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}};\frac{y}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}};\frac{z}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\right)=\left(a;b;c\right)\)

Consider:

\(\Sigma_{cyc}\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\Sigma_{cyc}\frac{\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}}{2}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\frac{3}{2}\)

Now we need to prove:

\(\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{a+1}\ge2\left(M\right)\)

\(VT_M\ge\frac{9}{a+b+c+3}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}+3}=2\)

Sign '=' happen when \(\hept{\begin{cases}x=y=z=1\\a=b=c=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

theo BĐT Bunhiacopski ta có:

\(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{\left(x+y+z\right)\cdot x+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại:

\(LHS\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y+z\right)x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(\le\frac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\right)^2}}=\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự với 2 BĐT trên ta có: 

\(\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}};\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng theo vế ta có: \(VT\le\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

x;y;z có dương không ta ?

Uk , đúng rồi , x,y,z dương nhé ! mình đánh thiếu đề

cả cái chỗ \(\frac{x}{x+\sqrt{2x+yz}}\) nữa , cái mẫu phải là 3x chứ sao lại là 2x ?

Có \(\sqrt{\frac{x}{\sqrt[]{3x+yz}}}=\sqrt[]{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}}\)

Làm tương tự với 2 cái còn lại

Ta sẽ dùng bđt cô si mở rộng: (a+b+c)^2<=3(a^2+b^2+c^2)

Đặt A là biểu thức để bài cho

Có A^2<=\(3\left(\frac{x}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{\sqrt[]{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}+\frac{z}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\right)\)

Ta có \(\frac{1}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}< =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)

nên \(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}< =\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)

làm tương tự với 2 ngoặc còn lại ta sẽ thấy A^2<=\(\frac{9}{2}\)

hay A<=\(\frac{3}{\sqrt{2}}\)

dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Chúc bạn học tốt!

Dùng BĐT B.c.s ta có:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự rồi cộng lại ta có Đpcm

Dấu = khi \(x=y=z=1\)

Đọc k ra thì thôi đừng trách mk chữ xấu =))

Muốn thấy hết thì Ctrl -

Áp dụng bđt phụ \(\sqrt{ \left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\)có 

\(VT=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+\frac{y}{y+\sqrt{\left(y+x\right)\left(z+y\right)}}+\frac{z}{z+\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)

\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}+\frac{y}{y+\sqrt{yz}+\sqrt{yx}}+\frac{z}{z+\sqrt{zx}+\sqrt{zy}}\)

\(=\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}+\frac{y}{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}+\frac{z}{\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

bạn sửa lại đề đi ạ

hh
cục đó \(\le1\)

Áp dụng B.C.S ta có:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự cộng lại ta có dpcm.

Dấu = khi x=y=z=1

chờ lát tui làm cho

Thắng b c s là j :D